Категории раздела
Статистика
Форма входа
Полезные ссылки
Учебный центр, e-mail:
l3-inf0@yandex.ru
Слушать Радио Дача онлайн
| Главная » Файлы » Мои файлы |
Решение уравнений из курса алгебы. Подготовка к ЕГЭ по математике
| [ Скачать с сервера (1.90 Mb) ] | 18.03.2010, 16:40 |
Введение Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реально го мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного овладения современным содержанием школьного математического образования необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному выполнению работ различного характера. Важным также является раскрытие процесса формирования умений и навыков самостоятельной работы при обучении курсам математики, при этом необходимо показать, как в ходе преподавания математики учитель может осуществить формирование у учащихся отмеченных выше умений и навыков. Из истории возникновения уравнений. Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10+x)(10—x) =96, или же 100 —x2 = 96. x2 - 4 = 0 Отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения y (20-y)=96 y2 - 20y+96=0 Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения Франсуа Виет (1540—1603) Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 г. в небольшом городке Фантанеле - Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Ознако¬мившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубо¬ко знать математику. Занявшись ее изучением, он выполнил ряд алгебраиче¬ских исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астроно¬мии так и не написал. Свою знаменитую теорему, которая известна под на¬званием «теорема Виета», он доказал в 1591 г. Люди пользуются ею уже пя¬тое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью — мог ра¬ботать по трое суток без отдыха. Многие его результаты и открытия достой¬ны восхищения. Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую услугу своей родине — он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мыс¬ли, что такой сложный шрифт может быть раскрыт. Впоследствии они при¬писали это событие волшебству чародея. В работе «Введение в аналитическое искусство» Ф. Виет изложил усо-вершенствованную им теорию уравнений с применением изобретенных сим¬волов. В названном трактате Виет использовал алгебраические выкладки при рассмотрении вопросов геометрии. Виет ввел в алгебру общую символику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый термин — «коэффи¬циент», позаимствовав из латинского языка слово coefficiens — «содейст¬вующий». Знаки «+» и «-» он употреблял в современном значении, неизвест¬ные обозначал буквами латинского алфавита. Уравнение Уравнение – это равенство, содержащее переменную. Решить уравнение, значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Виды уравнений Уравнения бывают двух видов: алгебраические и логарифмические, те в свою очередь делятся на подвиды: Алгебраические • Линейные уравнения • Квадратные уравнения • Уравнения высших степеней • Рациональные уравнения • Иррациональные уравнения Линейные уравнения Линейное уравнение может иметь только один корень Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением. • Если a 0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х = • Если a=0; b 0, то линейное уравнение решений не имеет. • Если a 0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения. Самостоятельная работа: Линейные уравнения Квадратные уравнения Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где, a, b, c - действительные числа, причем a 0, называют квадратным уравнением. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член. • Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; • Если a=1, - то неприведенным. Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. • если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; • если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; • если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители. Самостоятельная работа: Квадратные уравнения Рациональные уравнения Уравнение f(x) = q(x) называется рациональным, если f(x) и q(x) — ра¬циональные выражения, содержащие действия сложения, вычитания, умно¬жения, деления и возведения в целую степень. Область допустимых значений этого уравнения - множество всех действительных чисел. Если f(x) и q(x) — целые выражения , то уравнение назы¬вается целым; если же хотя бы одно из выражений f(x) и q(x) является дроб¬ным (содержит деление на Х или на выражение, содержащее переменную Х), то рациональное уравнение называется дробным. Сразу скажем, что общих методов решения дробно-рациональных уравнений не существует. Тем не менее решение очень многих из них основано на удачной группировке и последующем приведении сгруппированных слагаемых к общему знаменателю. В более простых случаях группировка не требуется, а иногда уравнение можно упростить, введя новую переменную. При решении рациональных уравнений возникает опасность получения посторонних решений, которая купируется либо проверкой, либо нахождением области допустимых значений (что, как правило, излишне), либо просто указанием соответствующих ограничений и дальнейшей проверкой их выполнения. Самостоятельная работа: Рациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнениям, содержащим неизвестную под знаком корня, такие уравнения называются иррациональными. Основная идея решения иррационального уравнения – освобождение от иррациональности, к которому приводят: • равносильные преобразования • переход к уравнению-следствию • замена переменной. Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание! Самостоятельная работа: Иррациональные уравнения Уравнения высших степеней Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида: , где a 0. Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов). Так как f(x) является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a > 0, то функция возрастает до плюс бесконечности с обоих сторон, таким образом функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a < 0, то функция убывает до минус бесконечности с обоих сторон, таким образом функция имеет глобальный максимум Самостоятельная работа: Уравнения высших степеней Основные методы решения уравнений • ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД Решение уравнений тесно связано с построением графиков функций. • РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ Для решения уравнения а0хn + a1 xn-1 + ... + аn-1х + аn= 0, где a0 0, на¬до разложить многочлен, стоящий в левой части равенства на множители, что в данном случае является равнозначной операцией (найти корни много¬члена). • ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен. a) Замена y = x n ( степенная замена ) В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному b) Замена или ( замена многочлена ) Чаще всего встречается замена или c) Замена ( дробно-рациональная замена ). Здесь, как и всегда, и − многочлены степеней n и m соответственно. В частности, с помощью широко распространённой замены решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0. • ЗАМЕНА ОДНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДРУГИМ,ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫМ ЕМУ. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x2 + 12x + 4 = 15x + 10 • ПЕРЕНОС ЧЛЕНОВ УРАВНЕНИЯ ИЗ ОДНОЙ СТОРОНЫ В ДРУГУЮ С ОБРАТНЫМИ ЗНАКАМИ. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x2 – 3x – 6 = 0 . • УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ НА ОДНО И ТО ЖЕ ВЫРАЖЕНИЕ (ЧИСЛО), ОТЛИЧНОЕ ОТ НУЛЯ. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 . • МОЖНО ВОЗВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ В НЕЧЕТНУЮ СТЕПЕНЬ ИЛИ ИЗВЛЕЧЬ ИЗ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ КОРЕНЬ НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ. Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней; б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней. Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49x2 = 1225 , имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения 49x 2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: | 7x | = 35, а следовательно, к двум случаям: 1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7x = 35, тогда x = – 5 . Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения. После прочтения электронного пособия советуем пройти проверочный тест вариант 1 проверочный тест вариант 2 проверочный тест вариант 3 «Для любознательных»: конкурсные задания | |
| Просмотров: 9238 | Загрузок: 456 | Комментарии: 2 | Рейтинг: 3.6/5 | |
| Всего комментариев: 1 | ||
| ||
